Το Θέμα Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού – Το Θέμα Α

(κατεβάστε το ως αρχείο word)

Κεφάλαιο 1: Όριο συνέχεια συνάρτησης

Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α;

Απάντηση

Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: $f:A\to R$
Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται ${{D}_{f}}$ και το σύνολο τιμών $f\left( A \right)$

Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης f ;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f:A\to R$ . Η γραφική της παράταση είναι το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει $y=f\left( x \right)$ , δηλαδή το σύνολο των σημείων $M\left( x,f\left( x \right) \right)$ όπου $x\in A$ . Συμβολίζεται συνήθως με ${{C}_{f}}$ .

Πότε δύο συναρτήσεις $f$ και g λέγονται ίσες;

Απάντηση

Όταν

έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
$f\left( x \right)=g\left( x \right)$ για όλα τα $x\in A$

Η ισότητα δύο συναρτήσεων συμβολίζεται : $f=g$

Πότε μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι :

Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ (ολικό) μέγιστο,
Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ (ολικό) ελάχιστο,

Απάντηση

Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ (ολικό) μέγιστο, όταν $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$ για όλα τα $x\in A$
Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ (ολικό) ελάχιστο, όταν $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$ για όλα τα $x\in A$

Αν $f:A\to R$ και $g:B\to R$ , τι ονομάζουμε σύνθεση της $f$ με την $g$ (Συμβολίζεται $g\circ f$ );

Απάντηση

Τη συνάρτηση με τύπο: (gof )(x) = g( f (x)) .

Το πεδίο ορισμού της $g\circ f$ αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g . Δηλαδή είναι το σύνολο : ${A}'=\left\{ x\in A/f\left( x \right)\in B \right\}$ . Είναι φανερό ότι η $g\circ f$ ορίζεται αν f(A)∩B ≠ Ø.

Πότε μια συνάρτηση f λέγεται :

γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;
γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Γνησίως αύξουσα: όταν για οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$
Γνησίως φθίνουσα: όταν για οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$

Πότε μια συνάρτηση $f:A\to R$ λέγεται συνάρτηση 1−1;

Απάντηση

Όταν για δύο οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A$ με ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right)$ . Δηλαδή οι εικόνες δύο διαφορετικών στοιχείων του πεδίου ορισμού είναι πάντοτε διαφορετικές,

Τι ονομάζουμε αντίστροφη της συνάρτησης $f:A\to R$ ;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f:A\to R$ η οποία είναι και 1-1. Κάθε στοιχείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού ( ${{x}_{0}}\in {{D}_{f}}$ ) αντιστοιχεί σε μοναδικό στοιχείο ${{y}_{0}}$ του συνόλου τιμών ( ${{y}_{0}}\in f\left( A \right)$ ). Η αντίστροφη συνάρτηση της $f$ συμβολίζεται ${{f}^{-1}}$ και αντιστοιχεί το κάθε στοιχείο ${{y}_{0}}$ του συνόλου τιμών $f\left( A \right)$ στο μοναδικό ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού ${{D}_{f}}$ . Το πεδίο ορισμού της ${{f}^{-1}}$ είναι το σύνολο τιμών της $f$ και το σύνολο τιμών της ${{f}^{-1}}$ το πεδίο ορισμού της $f$ . Δηλαδή ${{f}^{-1}}:f\left( A \right)\to A$ . Ισχύει ότι $f\left( x \right)=y\Leftrightarrow {{f}^{-1}}\left( y \right)=x$

Ποια είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων ${{C}_{f}}$ και ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$ , αντίστοιχα;

Απάντηση

Οι γραφικές παραστάσεις ${{C}_{f}}$ και ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.

Αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση ${{C}_{f}}$ , τότε το σημείο Μ΄(β,α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$ και αντίστροφα. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy.

Αν $P(x)={{a}_{v}}{{x}^{v}}+\ldots +{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}}$ είναι πολυώνυμο να αποδείξετε ότι: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,P(x)=P\left( {{x}_{0}} \right)$

Απάντηση

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,P(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{v}}{{x}^{v}}+\ldots +{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}} \right)=$

$=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{v}}{{x}^{v}}+\ldots +\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{1}}{{x}^{1}}+\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{0}}=$

$={{a}_{v}}\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{v}}+\ldots +{{a}_{1}}\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{1}}+\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{0}}=$

$={{a}_{v}}x_{0}^{v}+\ldots +{{a}_{1}}x_{0}^{1}+{{a}_{0}}=P({{x}_{0}})$

Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής.

Απάντηση

Έστω οι συναρτήσεις $f,g,h$ . Αν

$h\left( x \right)\le f\left( x \right)\le g(x)$ κοντά στο ${{x}_{0}}$
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{h}_{\left( x \right)}}=\underset{x\to +0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=l$

Τότε $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l$

Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f:A\to R$ και ${{x}_{0}}\in A$ . Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο ${{x}_{0}}$ , όταν $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$

Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής

σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β);
σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];

Απάντηση

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β).
Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον: $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$ και $\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( \beta \right)$

Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

η $f$ είναι συνεχής στο [α, β] και
$f\left( \alpha \right)\cdot f\left( b \right)<0$

.

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ${{x}_{0}}\in \left( a,\beta \right)$ ) τέτοιο, ώστε $f\left( {{x}_{0}} \right)=0$ .

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης $f\left( x \right)=0$ στο ανοικτό διάστημα $\left( \alpha ,\beta \right)$ .

Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών (ΘΕΤ)

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

η $f$ είναι συνεχής στο [α, β] και
$f\left( \alpha \right)\ne f\left( b \right)$

.

τότε για κάθε αριθμό $\eta$ μεταξύ των $f\left( \alpha \right)$ και $f\left( \beta \right)$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον ${{x}_{0}}\in \left( a,\beta \right)$ τέτοιος, ώστε $f\left( {{x}_{0}} \right)=\eta$ .

Απόδειξη

Αφού

$f\left( \alpha \right)\ne f\left( b \right)$

τότε είτε

$f\left( \alpha \right)<f\left( b \right)$

είτε

$f\left( \alpha \right)>f\left( b \right)$

. Επιλέγουμε τυχαία μία από τις σχέσεις , έστω

$f\left( \alpha \right)<f\left( b \right)$

. Άρα $f\left( \alpha \right)<\eta <f\left( \beta \right)$ . Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\eta$ , $x\in \left[ a,\beta \right]$ , παρατηρούμε ότι πληροί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Bolzano:

η $g$ είναι συνεχής στο [α, β] και
$g\left( \alpha \right)\cdot g\left( b \right)=\left( f\left( \alpha \right)-n \right)\cdot \left( f\left( \beta \right)-\eta \right)<0$ .

Επομένως, υπάρχει ${{x}_{0}}\in \left( a,\beta \right)$ τέτοιο, ώστε $g\left( {{x}_{0}} \right)=0\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)-\eta =0\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=\eta$

Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής

Απάντηση

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ , τότε η $f$ παίρνει στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Κεφάλαιο 2 : Διαφορικός Λογισμός

Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο της $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$

Απάντηση

Έστω $f$ μια συνάρτηση και $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ ένα σημείο της ${{C}_{f}}$ . Αν υπάρχει το $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

H εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ είναι:

$y-f\left( {{x}_{0}} \right)=\lambda \left( x-{{x}_{0}} \right)$ όπου $\lambda =\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της αν υπάρχει το $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της $f$ στο ${{x}_{0}}$ και συμβολίζεται

${{f}^{\prime }}({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

Ισχύει ότι :

${{f}^{\prime }}({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

Να αποδείξετε ότι: Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${{x}_{0}}$ , τότε

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη

Για $x\ne {{x}_{0}}$ ισχύει $f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right)}\left( x-{{x}_{0}} \right)$ , οπότε

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right))=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right)}\left( x-{{x}_{0}} \right))=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right)}\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-{{x}_{0}} \right)={{f}^{\prime }}({{x}_{0}})\cdot 0=0$

Άρα $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$ δηλ. η $f$ είναι συνεχής στο ${{x}_{0}}$ .

Έστω μία σταθερή συνάρτηση f(x) = c, c ϵ R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( c \right)}^{\prime }}=0$ ,

Απόδειξη

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}\in R$ . Για $x\ne {{x}_{0}}$ ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( c \right)}^{\prime }}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{C-C}{x-{{x}_{0}}}=0$

Έστω η συνάρτηση f(x) = x, x ϵ R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( x \right)}^{\prime }}=1$ ,

Απόδειξη

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}\in R$ . Για $x\ne {{x}_{0}}$ ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( x \right)}^{\prime }}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-{{x}_{0}}}{x-{{x}_{0}}}=1$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)={{x}^{v}}$ , $v\in N-\left\{ 0,1 \right\}$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{v}} \right)}^{\prime }}=v{{x}^{v-1}}$ ,

Απόδειξη

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}\in R$ . Για $x\ne {{x}_{0}}$ ισχύει

${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{\nu }} \right)}^{\prime }}=\lim \frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\nu }}-{{x}_{0}}^{\nu }}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-{{x}_{0}})({{x}^{\nu -1}}+{{x}^{\nu -2}}{{x}_{0}}^{1}+...+{{x}_{0}}^{\nu -1})}{x-{{x}_{0}}}=$

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{\nu -1}}+{{x}^{\nu -2}}{{x}_{0}}^{1}+...+{{x}_{0}}^{\nu -1})={{x}_{0}}^{\nu -1}+{{x}_{0}}^{\nu -1}+...+{{x}_{0}}^{\nu -1}=\nu {{x}_{0}}^{\nu -1}$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)=\sqrt{x}$ , $x\in [0,+\infty )$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty )$ και ισχύει ${f}'\left( x \right)=(\sqrt{x}{)}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ,

Απόδειξη

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}\in (0,+\infty )$ . Για $x\ne {{x}_{0}}$ ισχύει

${f}'\left( x \right)=(\sqrt{x}{)}'=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-\sqrt{{{x}_{0}}}}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{{{x}_{0}}})(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}{(x-{{x}_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}=$

$=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-{{x}_{0}})}{(x-{{x}_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}=\frac{1}{2\sqrt{{{x}_{0}}}}$

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο ${{x}_{0}}$ , τότε η συνάρτηση $f+g$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ και ισχύει, ${{\left( f+g \right)}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)={f}'\left( {{x}_{0}} \right)+{g}'\left( {{x}_{0}} \right)$

Απόδειξη

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}\in (0,+\infty )$ . Για $x\ne {{x}_{0}}$ ισχύει

${{\left( f+g \right)}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( f+g \right)\left( x \right)-\left( f+g \right)\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)+g(x)-f\left( {{x}_{0}} \right)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=$

$=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)+g(x)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}+\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)-g\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}={f}'\left( {{x}_{0}} \right)+{g}'\left( {{x}_{0}} \right)$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)={{x}^{-v}}$ , $v\in {{N}^{*}}$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ${{R}^{*}}$ και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{-v}} \right)}^{\prime }}=-v{{x}^{-v-1}}$ ,

Απόδειξη

Για κάθε $x\in {{R}^{*}}$ ισχύει

${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{-v}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{{{x}^{v}}} \right)}^{\prime }}=\frac{(1{)}'{{x}^{\nu }}-1({{x}^{\nu }}{)}'}{{{({{x}^{\nu }})}^{2}}}=\frac{-\nu {{x}^{\nu -1}}}{{{x}^{2\nu }}}=-\nu {{x}^{-\nu -1}}$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)=\varepsilon \varphi x$ , $v\in {{N}^{*}}$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $R-\{x|\sigma \upsilon \nu x=0\}$ και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( \varepsilon \varphi x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}$ ,

Απόδειξη

Για κάθε $x\in R-\{x|\sigma \upsilon \nu x=0\}$ ισχύει

${f}'\left( x \right)={{\left( \varepsilon \varphi x \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x} \right)}^{\prime }}=\frac{(\eta \mu x{)}'\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x(\sigma \upsilon \nu x{)}'}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}=\frac{\sigma \upsilon \nu x\cdot \sigma \upsilon \nu x+\eta \mu x\cdot \eta \mu x}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}=$

$=\frac{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x+\eta {{\mu }^{2}}x}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}=\frac{1}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)={{x}^{\alpha }}$ , $\alpha \in R-Z$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty )$ και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ ,

Απόδειξη

Για $x>0$ ισχύει:

${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{a}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\ln {{x}^{a}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\alpha \ln x}} \right)}^{\prime }}=(\alpha \ln x{)}'\left( {{e}^{\alpha \ln x}} \right)=$

$=\frac{\alpha }{x}\left( {{e}^{\ln {{x}^{\alpha }}}} \right)=\frac{\alpha }{x}{{x}^{a}}=a{{x}^{a-1}}$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)={{\alpha }^{x}}$ , $\alpha >0$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $R$ και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( {{\alpha }^{x}} \right)}^{\prime }}={{\alpha }^{x}}\ln \alpha$ ,

Απόδειξη

Για κάθε x ισχύει

${f}'\left( x \right)={{\left( {{\alpha }^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\ln {{\alpha }^{x}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{x\ln \alpha }} \right)}^{\prime }}=(x\ln \alpha {)}'\left( {{e}^{x\ln \alpha }} \right)=$

$=\ln \alpha \left( {{e}^{\ln {{\alpha }^{x}}}} \right)=\ln \alpha \cdot {{\alpha }^{x}}={{\alpha }^{x}}\ln \alpha$

Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right)=\ln \left| x \right|,\,\,x\in {{R}^{*}}$ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ${{R}^{*}}$ και ισχύει ${f}'\left( x \right)={{\left( {{\alpha }^{x}} \right)}^{\prime }}={{\alpha }^{x}}\ln \alpha$ ,

Απόδειξη

Για κάθε ισχύει

Αν $x>0$ ,τότε ${f}'\left( x \right)={{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}$
Αν $x<0$ ,τότε ${f}'\left( x \right)={{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \ln (-x) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}(-x{)}'=\frac{1}{x}$

Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του $y=f\left( x \right)$ ως προς το $x$ στο σημείο ${{x}_{0}}$

Απάντηση

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x , y συνδέονται με τη σχέση $y=f\left( x \right)$ , όπου $f$ είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο ${{x}_{0}}$ την παράγωγο ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)$ .

Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει:

Ότι είναι συνεχής στο [α,β]
Παραγωγίσιμη στο (α,β)
$f\left( \alpha \right)=f\left( \beta \right)$

τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left( \alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε ${f}'\left( \xi \right)=0$

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $\xi \in \left( \alpha ,\beta \right)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο $\Mu \left( \xi ,f\left( \xi \right) \right)$ να είναι παράλληλη στον άξονα των x.

Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει:

Ότι είναι συνεχής στο [α,β]
Παραγωγίσιμη στο (α,β)

τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left( \alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε ${f}'\left( \xi \right)=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }$

Γεωμετρική ερμηνεία

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν

η $f$ είναι συνεχής στο Δ και
${f}'\left( x \right)=0$ για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Απόδειξη

Πρέπει να δείξουμε ότι για δύο οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta$ ισχύει $f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$ .

Αν ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ τότε προφανώς $f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)$
Αν ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ τότε η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα $\left[ {{x}_{2}},{{x}_{1}} \right]$ , άρα υπάρχει $\xi \in \left( {{x}_{2}},{{x}_{1}} \right)$ ώστε ${f}'\left( \xi \right)=\frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\Rightarrow 0=\frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\Rightarrow 0=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})\Rightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$
Αν ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ τότε η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα $\left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right]$ , άρα υπάρχει $\xi \in \left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)$ ώστε ${f}'\left( \xi \right)=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\Rightarrow 0=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\Rightarrow 0=f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})\Rightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$

Έστω δύο συναρτήσεις $f,g$ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

η $f,g$ είναι συνεχείς στο Δ και
${f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right)$ για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε $x\in \Delta$ να ισχύει $f\left( x \right)=g\left( x \right)+c$ .

Απόδειξη

Έστω η συνάρτηση $h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

$h\left( x \right)$ συνεχής στο Δ
${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0$

Δηλ. ικανοποιεί τις υποθέσεις του προηγούμενου θεωρήματος άρα υπάρχει σταθερά c ώστε $h\left( x \right)=c\Rightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)+c$

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

Αν ${f}'\left( x \right)>0$ σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
Αν ${f}'\left( x \right)<0$ σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Απόδειξη

Έστω ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ . Στο διάστημα $\left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right]$ η συνάρτηση $f$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ επομένως υπάρχει $\xi \in \left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)$ τέτοιο ώστε : ${f}'\left( \xi \right)=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ (1)

Αν ${f}'\left( x \right)>0$ τότε από (1) έχουμε $\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0\Rightarrow f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})>0\Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ αφού ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}>0$ . Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα $\uparrow$ .
Αν ${f}'\left( x \right)<0$ τότε από (1) έχουμε $\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0\Rightarrow f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})<0\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ αφού ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}>0$ . Άρα η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα $\downarrow$ .

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ τοπικό μέγιστο;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α. θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$ για κάθε $x\in A\cap \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)$ .

Το ${{x}_{0}}$ λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το $f\left( {{x}_{0}} \right)$ τοπικό μέγιστο της f.

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ τοπικό ελάχιστο;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α. θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}\in A$ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$ για κάθε $x\in A\cap \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)$ .

Το ${{x}_{0}}$ λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το $f\left( {{x}_{0}} \right)$ τοπικό ελάχιστο της f.

Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat και να το αποδείξετε.

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και ${{x}_{0}}$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ${{x}_{0}}$ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0$ .

Απόδειξη

Έστω ότι η $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${{x}_{0}}$ , τότε υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$ για κάθε $x\in A\cap \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)$ .

Επίσης η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ άρα ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$ .

Για $x\in \left( {{x}_{0}},{{x}_{0}}+\delta \right)$ ισχύει $\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\le 0$ άρα $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\le 0$ (1)

Για $x\in \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}} \right)$ ισχύει $\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\ge 0$ άρα $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\ge 0$ (2)

Από (1) και (2) ισχύει ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0$

Ανάλογη είναι η απόδειξη εάν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του ${{x}_{0}}$ , στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι:
- Αν ${f}'\left( x \right)>0$ στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)$ και ${f}'\left( x \right)<0$ στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right)$ , τότε το $f\left( {{x}_{0}} \right)$ είναι τοπικό μέγιστο της $f$ .
- Αν ${f}'\left( x \right)<0$ στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)$ και ${f}'\left( x \right)>0$ στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right)$ , τότε το $f\left( {{x}_{0}} \right)$ είναι τοπικό ελάχιστο της $f$ .

iii) Aν η ${f}'\left( x \right)$ διατηρεί πρόσημο στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\cup \left( {{x}_{0}},\beta \right)$ , τότε το $f\left( {{x}_{0}} \right)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο $\left( \alpha ,\beta \right)$

Απόδειξη

${f}'\left( x \right)>0$ στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$ , άρα είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right]$ , δηλ $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$ για $x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right]$ . (1)
${f}'\left( x \right)<0$ στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$ , άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right]$ , δηλ $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$ για $x\in \left( {{x}_{0}},\beta \right]$ . (2)

Από (1) και (2) έχουμε $f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)$ για κάθε

$x\in (\alpha ,\beta )$

${f}'\left( x \right)<0$ στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$ , άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right]$ , δηλ $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$ για $x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right]$ . (3)
${f}'\left( x \right)>0$ στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$ , άρα είναι γνησίως αύξσουσα στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right]$ , δηλ $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$ για $x\in \left( {{x}_{0}},\beta \right]$ . (4)

Από (3) και (4) έχουμε $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)$ για κάθε

$x\in (\alpha ,\beta )$

Έστω ότι ${f}'\left( x \right)>0$ για $x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\cup ({{x}_{0}},\beta )$ . Επειδή η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$ συνεπάγεται ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $(\alpha ,{{x}_{0}}]$ και στο $[{{x}_{0}},\beta )$ . Επομένως για ${{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{0}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ .
Άρα το $f\left( {{x}_{0}} \right)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο. Θα δείξουμε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ . Έστω ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( \alpha ,\beta \right)$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$
Αν ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ αφού $f\uparrow$ στο $(\alpha ,{{x}_{0}}]$
Αν ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( {{x}_{0}},\beta \right)\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ αφού $f\uparrow$ στο $[{{x}_{0}},\beta )$
Αν ${{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{0}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$

Σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει $f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ . Ανάλογη είναι η απόδειξη εάν ${f}'\left( x \right)<0$ για $x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\cup ({{x}_{0}},\beta )$ .

Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση $f$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ:
1. στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ;
2. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση

$f$ συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f΄ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.

Πως σχετίζεται η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης $f$ με την κυρτότητά της;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση

$f$ συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Αν ${f}''\left( x \right)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $f$ είναι κυρτή στο Δ.

Αν ${f}''\left( x \right)<0$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $f$ είναι κοίλη στο Δ.

Πότε το σημείο $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της $f$ ;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $\left( \alpha ,\beta \right)$ , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του ${{x}_{0}}$ . Αν

η $f$ είναι κυρτή στο $\left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)$ και κοίλη στο $\left( {{x}_{0}},\beta \right)$ , ή αντιστρόφως, και
η ${{C}_{f}}$ έχει εφαπτόμενη στο σημείο $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ ,

τότε το σημείο $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της $f$

Αν το $A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της $f$ και η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ποια είναι η τιμή της ${f}''\left( {{x}_{0}} \right)$ ;

Απάντηση

Ισχύει ότι ${f}''\left( {{x}_{0}} \right)=0$ .

Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ ;

Απάντηση

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ ή $\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ είναι $+\infty$ ή $-\infty$ , τότε η ευθεία $x={{x}_{0}}$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ .

Τι ονομάζουμε οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$ (αντίστοιχα στο $-\infty$ );

Απάντηση

Αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l$ (αντιστοίχως $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l$ ), τότε η ευθεία $y=l$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$ (αντίστοιχα στο $-\infty$ ).

Πότε λέμε ότι ευθεία $y=\lambda x+\beta$ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$ (αντιστοίχως στο $-\infty$ );

Απάντηση

Αν $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f\left( x \right)-(\lambda x+\beta )]=0$ (αντιστοίχως αν $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[f\left( x \right)-(\lambda x+\beta )]=0$ ).

Να διατυπώσετε τους κανόνες του de l’ Hospital;

Απάντηση

Κανόνας 1 $\left( \frac{0}{0} \right)$ :

Αν $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$ και $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ , όπου ${{x}_{0}}\in R\cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}$ και υπάρχει το $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$

Κανόνας 1 $\left( \frac{\infty }{\infty } \right)$ :

Αν $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty$ και $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$ , όπου ${{x}_{0}}\in R\cup \left\{ -\infty ,+\infty \right\}$ και υπάρχει το $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ (πεπερασμένο ή άπειρο) τότε $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$

Κεφάλαιο 3 : Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο Δ;

Απάντηση

Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$ , για κάθε $x\in \Delta$ .

Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν $F$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:

όλες οι συναρτήσεις της μορφής $G\left( x \right)=F\left( x \right)+c$ , όπου $c\in R$ , είναι παράγουσες της $f$ στο Δ και
κάθε άλλη παράγουσα G της $f$ στο Δ παίρνει τη μορφή $G\left( x \right)=F\left( x \right)+c$ , $c\in R$ .

Απάντηση

${G}'\left( x \right)={{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{\prime }}={F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$
Έστω G μια άλλη παράγουσα της $f$ . Τότε για $x\in \Delta$ ισχύει:
$\left. <span class="ql-right-eqno"> (1) </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://zenos.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd2a6be20df70d890915c704d900d2c_l3.png" height="74" width="212" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*}</li> <li>& {G}'\left( x \right)=f\left( x \right) \\</li> <li>& {F}'\left( x \right)=f\left( x \right) \\</li> <li>\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \right\}\Rightarrow G\left( x \right)={F}'\left( x \right)\Rightarrow G\left( x \right)=F\left( x \right)+c$

Να συμπληρώσετε τα κενά στις επόμενες ισότητες-ανισότητες, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις:

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=.......\underset{\beta }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x$
$\underset{\alpha }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=.......$
Έστω συνεχής συνάρτηση $f:\left[ \alpha ,\beta \right]\to R$ . Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $x\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ τότε
$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x.......$
Έστω συνεχής συνάρτηση $f:\left[ \alpha ,\beta \right]\to R$ . Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $x\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x\,.......$

Απάντηση

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=-\underset{\beta }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x$
$\underset{\alpha }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=0$
Έστω συνεχής συνάρτηση $f:\left[ \alpha ,\beta \right]\to R$ . Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $x\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ τότε $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x\ge 0$
Έστω συνεχής συνάρτηση $f:\left[ \alpha ,\beta \right]\to R$ . Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $x\in \left[ \alpha ,\beta \right]$ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x>0$

Τι παριστάνει γεωμετρικά το : $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x$ , όταν $f\left( x \right)\ge 0$ ;

Απάντηση

Αν $f\left( x \right)\ge 0$ για κάθε $x\in \left[ a,\beta \right]$ , τότε το ολοκλήρωμα $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x$ δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β .

Ισχύει $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=\Epsilon (\Omega )$

Τι παριστάνει γεωμετρικά το $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,\text{cd}x$ , αν $c>0$ ;

Απάντηση

Εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση β − α και ύψος c .

Θεώρημα. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση $F\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x$ , $x\in \Delta$ είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει ${{\left( \underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$

Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Απάντηση

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε ισχύει $\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=G(\alpha )-G(\beta )$ .

Απόδειξη

Από προηγούμενο Θεώρημα έχουμε ότι η $F\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x$ είναι μία παράγουσα της $f$ στο [α,β].

Όμως και η G είναι μία παράγουσα της $f$ στο [α,β]. Άρα $G(x)=F\left( x \right)+c$ (1) για κάποιο $c\in R$ .

Για x=α η (1)γίνεται:

$G(\alpha )=F\left( \alpha \right)+c\Rightarrow G(\alpha )=\underset{\alpha }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x+c\Rightarrow G(\alpha )=c$

, οπότε η (1) γράφεται $G(x)=F\left( x \right)+G(\alpha )\Rightarrow F\left( x \right)=G(x)-G(\alpha )$ .

Αν θέσουμε x=β η τελευταία εξίσωση γράφεται $F\left( \beta \right)=G(\beta )-G(\alpha )\Rightarrow \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=G\left( \beta \right)-G\left( \alpha \right)$

Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση

Έστω ${f}'$ , ${g}'$ δύο συνεχής συναρτήσεις στο [α,β], τότε ισχύει $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right){g}'\left( x \right)\text{d}x=\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]_{\alpha }^{\beta }-\underset{\alpha }{\overset{b}{\mathop \int }}\,{f}'(x)g\left( x \right)\text{d}x$

Ποιος είναι ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση

Έστω $f$ , ${g}'$ δύο συνεχής συναρτήσεις στο [α,β], τότε ισχύει $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( g(x) \right){g}'\left( x \right)\text{d}x=\underset{g(\alpha )}{\overset{g(\beta )}{\mathop \int }}\,f(u)du$

Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συνεχών συναρτήσεων f , g και τις ευθείες x = α και x = β;

Απάντηση

$\Epsilon (\Omega )=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,|f\left( x \right)-g\left( x \right)\text{ }\!\!|\!\!\text{ d}x$

Μαθηματικά, Πληροφορική, Σπαζοκεφαλιές …

Μαθηματικά, Πληροφορική, Σπαζοκεφαλιές …

Μαθηματικά Προσανατολισμού – Το Θέμα Α

Κεφάλαιο 1: Όριο συνέχεια συνάρτησης

Κεφάλαιο 2 : Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 3 : Ολοκληρωτικός Λογισμός