Το Θέμα Α

[latexpage]

Μαθηματικά   Προσανατολισμού – Το Θέμα Α

(κατεβάστε το ως αρχείο word)

Κεφάλαιο 1: Όριο συνέχεια συνάρτησης

 

  1. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f  με πεδίο ορισμού το Α;

Απάντηση

Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της  f  στο x και συμβολίζεται με f(x).
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: $f:Ato R$
Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται ${{D}_{f}}$και το σύνολο τιμών $fleft( A right)$

 

  1. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης  f ;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f:Ato R$. Η γραφική της παράταση είναι το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει $y=fleft( x right)$, δηλαδή το σύνολο των σημείων $Mleft( x,fleft( x right) right)$όπου $xin A$.  Συμβολίζεται συνήθως με ${{C}_{f}}$.

 

  1. Πότε δύο συναρτήσεις $f$ και g λέγονται ίσες;

Απάντηση

Όταν

  • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
  • $fleft( x right)=gleft( x right)$ για όλα τα $xin A$

Η ισότητα δύο συναρτήσεων συμβολίζεται : $f=g$

 

  1. Πότε μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι :
  • Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ (ολικό) μέγιστο,
  • Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ (ολικό) ελάχιστο,

Απάντηση

  • Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ (ολικό) μέγιστο, όταν $fleft( x right)le fleft( {{x}_{0}} right)$ για όλα τα $xin A$
  • Παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ (ολικό) ελάχιστο, όταν $fleft( x right)ge fleft( {{x}_{0}} right)$ για όλα τα $xin A$

 

  1. Αν $f:Ato R$ και $g:Bto R$, τι ονομάζουμε σύνθεση της $f$ με την $g$ (Συμβολίζεται $gcirc f$);

Απάντηση

24

Τη συνάρτηση με τύπο: (gof )(x) = g( f (x)) .

Το πεδίο ορισμού της $gcirc f$αποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της  f  για τα οποία το f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g . Δηλαδή είναι το σύνολο : ${A}’=left{ xin A/fleft( x right)in B right}$. Είναι φανερό ότι η $gcirc f$ορίζεται αν f(A)∩B ≠ Ø.

 

  1. Πότε μια συνάρτηση f  λέγεται :
  • γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;
  • γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

  • Γνησίως αύξουσα: όταν για οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in Delta $ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$
  • Γνησίως φθίνουσα: όταν για οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in Delta $ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)$

 

  1. Πότε μια συνάρτηση$f:Ato R$ λέγεται συνάρτηση 1−1;

Απάντηση

Όταν για δύο οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in A$ με ${{x}_{1}}ne {{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)ne fleft( {{x}_{2}} right)$. Δηλαδή οι εικόνες δύο διαφορετικών στοιχείων του πεδίου ορισμού είναι πάντοτε διαφορετικές,

 

  1. Τι ονομάζουμε αντίστροφη της συνάρτησης $f:Ato R$;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f:Ato R$ η οποία είναι και 1-1. Κάθε στοιχείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού (${{x}_{0}}in {{D}_{f}}$) αντιστοιχεί σε μοναδικό στοιχείο ${{y}_{0}}$του συνόλου τιμών (${{y}_{0}}in fleft( A right)$). Η αντίστροφη συνάρτηση της $f$συμβολίζεται ${{f}^{-1}}$ και αντιστοιχεί το κάθε στοιχείο ${{y}_{0}}$του συνόλου τιμών $fleft( A right)$στο μοναδικό ${{x}_{0}}$του πεδίου ορισμού ${{D}_{f}}$. Το πεδίο ορισμού της ${{f}^{-1}}$είναι το σύνολο τιμών της $f$και το σύνολο τιμών της ${{f}^{-1}}$ το πεδίο ορισμού της $f$. Δηλαδή ${{f}^{-1}}:fleft( A right)to A$. Ισχύει ότι $fleft( x right)=yLeftrightarrow {{f}^{-1}}left( y right)=x$

 

  1. Ποια είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων ${{C}_{f}}$και ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$, αντίστοιχα;

Απάντηση

37

Οι γραφικές παραστάσεις ${{C}_{f}}$και ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$ είναι συμμετρικές ως προς  την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.

Αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση ${{C}_{f}}$, τότε το σημείο Μ΄(β,α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση ${{C}_{{{f}^{-1}}}}$και αντίστροφα. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy.

 

  1. Αν $P(x)={{a}_{v}}{{x}^{v}}+ldots +{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}}$ είναι πολυώνυμο να αποδείξετε ότι: $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},P(x)=Pleft( {{x}_{0}} right)$

Απάντηση

$underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},P(x)=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},left( {{a}_{v}}{{x}^{v}}+ldots +{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}} right)=$

$=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{a}_{v}}{{x}^{v}}+ldots +underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{a}_{1}}{{x}^{1}}+underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{a}_{0}}=$

$={{a}_{v}}underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{x}^{v}}+ldots +{{a}_{1}}underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{x}^{1}}+underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{a}_{0}}=$

$={{a}_{v}}x_{0}^{v}+ldots +{{a}_{1}}x_{0}^{1}+{{a}_{0}}=P({{x}_{0}})$

 

  1. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής.

Απάντηση

Έστω οι συναρτήσεις $f,g,h$. Αν

  • $hleft( x right)le fleft( x right)le g(x)$ κοντά στο ${{x}_{0}}$
  • $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},{{h}_{left( x right)}}=underset{xto +0}{mathop{lim }},gleft( x right)=l$

Τότε $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=l$

 

  1. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f:Ato R$και ${{x}_{0}}in A$. Η συνάρτηση $f$είναι συνεχής στο ${{x}_{0}}$, όταν $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)$

  1. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής
  • σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β);
  • σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];

Απάντηση

  • Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β).
  • Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον: $underset{xto {{a}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( a right)$και $underset{xto {{beta }^{-}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( beta right)$

 

  1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano

Απάντηση

64

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

  • η $f$ είναι συνεχής στο [α, β] και
  • [fleft( alpha right)cdot fleft( b right)<0] .

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ${{x}_{0}}in left( a,beta  right)$) τέτοιο, ώστε $fleft( {{x}_{0}} right)=0$.

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης $fleft( x right)=0$ στο ανοικτό διάστημα $left( alpha ,beta  right)$ .

 

  1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών (ΘΕΤ)

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

  • η $f$ είναι συνεχής στο [α, β] και
  • [fleft( alpha right)ne fleft( b right)] .

τότε για κάθε αριθμό  $eta $μεταξύ των $fleft( alpha  right)$  και $fleft( beta  right)$ υπάρχει ένας, τουλάχιστον ${{x}_{0}}in left( a,beta  right)$τέτοιος, ώστε $fleft( {{x}_{0}} right)=eta $.

Απόδειξη

Αφού [fleft( alpha  right)ne fleft( b right)] τότε είτε  [fleft( alpha  right)<fleft( b right)] είτε [fleft( alpha  right)>fleft( b right)]. Επιλέγουμε τυχαία μία από τις σχέσεις , έστω [fleft( alpha  right)<fleft( b right)]. Άρα $fleft( alpha  right)<eta <fleft( beta  right)$. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση $gleft( x right)=fleft( x right)-eta $, $xin left[ a,beta  right]$, παρατηρούμε ότι πληροί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Bolzano:

  • η $g$ είναι συνεχής στο [α, β] και
  • $gleft( alpha right)cdot gleft( b right)=left( fleft( alpha  right)-n right)cdot left( fleft( beta  right)-eta  right)<0$ .

Επομένως, υπάρχει ${{x}_{0}}in left( a,beta  right)$ τέτοιο, ώστε $gleft( {{x}_{0}} right)=0Rightarrow fleft( {{x}_{0}} right)-eta =0Rightarrow fleft( {{x}_{0}} right)=eta $

67

 

  1. Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής

Απάντηση

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $left[ alpha ,beta  right]$ , τότε η $f$ παίρνει στο $left[ alpha ,beta  right]$μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

max_min

 

Κεφάλαιο 2 : Διαφορικός Λογισμός

 

  1. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$ στο σημείο της $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$

Απάντηση

Έστω $f$ μια συνάρτηση και $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$ ένα σημείο της ${{C}_{f}}$ . Αν υπάρχει το $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}$  και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της ${{C}_{f}}$στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

H εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$ είναι:

$y-fleft( {{x}_{0}} right)=lambda left( x-{{x}_{0}} right)$ όπου  $lambda =underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}$

 

  1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση $f$είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού  της;

Απάντηση

Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της αν υπάρχει το $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}$  και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της $f$ στο ${{x}_{0}}$ και συμβολίζεται [{{f}^{prime }}({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}].

Ισχύει ότι : [{{f}^{prime }}({{x}_{0}})=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}]

 

  1. Να αποδείξετε ότι: Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο ${{x}_{0}}$,  τότε

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη

Για $xne {{x}_{0}}$ ισχύει $fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)=frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{left( x-{{x}_{0}} right)}left( x-{{x}_{0}} right)$ , οπότε
[underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},(fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right))=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},(frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{left( x-{{x}_{0}} right)}left( x-{{x}_{0}} right))=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{left( x-{{x}_{0}} right)}underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},left( x-{{x}_{0}} right)={{f}^{prime }}({{x}_{0}})cdot 0=0] Άρα $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( {{x}_{0}} right)$ δηλ. η $f$ είναι συνεχής στο ${{x}_{0}}$ .

 

  1. Έστω μία σταθερή συνάρτηση f(x) = c, c ϵ R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει${f}’left( x right)={{left( c right)}^{prime }}=0$,

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}in R$. Για $xne {{x}_{0}}$ ισχύει ${f}’left( x right)={{left( c right)}^{prime }}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{C-C}{x-{{x}_{0}}}=0$

 

  1. Έστω η συνάρτηση f(x) = x, x ϵ R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει${f}’left( x right)={{left( x right)}^{prime }}=1$,

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}in R$. Για $xne {{x}_{0}}$ ισχύει ${f}’left( x right)={{left( x right)}^{prime }}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{x-{{x}_{0}}}{x-{{x}_{0}}}=1$

 

  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)={{x}^{v}}$, $vin N-left{ 0,1 right}$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει${f}’left( x right)={{left( {{x}^{v}} right)}^{prime }}=v{{x}^{v-1}}$,

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}in R$. Για $xne {{x}_{0}}$ ισχύει

[{f}’left( x right)={{left( {{x}^{nu }} right)}^{prime }}=lim frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{{{x}^{nu }}-{{x}_{0}}^{nu }}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{(x-{{x}_{0}})({{x}^{nu -1}}+{{x}^{nu -2}}{{x}_{0}}^{1}+…+{{x}_{0}}^{nu -1})}{x-{{x}_{0}}}=] [underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},({{x}^{nu -1}}+{{x}^{nu -2}}{{x}_{0}}^{1}+…+{{x}_{0}}^{nu -1})={{x}_{0}}^{nu -1}+{{x}_{0}}^{nu -1}+…+{{x}_{0}}^{nu -1}=nu {{x}_{0}}^{nu -1}]

 

  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)=sqrt{x}$, $xin [0,+infty )$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+infty )$ και ισχύει${f}’left( x right)=(sqrt{x}{)}’=frac{1}{2sqrt{x}}$,

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}in (0,+infty )$. Για $xne {{x}_{0}}$ ισχύει

[{f}’left( x right)=(sqrt{x}{)}’=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{sqrt{x}-sqrt{{{x}_{0}}}}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{(sqrt{x}-sqrt{{{x}_{0}}})(sqrt{x}+sqrt{{{x}_{0}}})}{(x-{{x}_{0}})(sqrt{x}+sqrt{{{x}_{0}}})}=] [=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{(x-{{x}_{0}})}{(x-{{x}_{0}})(sqrt{x}+sqrt{{{x}_{0}}})}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{1}{(sqrt{x}+sqrt{{{x}_{0}}})}=frac{1}{2sqrt{{{x}_{0}}}}]

 

  1. Αν οι συναρτήσεις $f,g$είναι παραγωγίσιμες στο${{x}_{0}}$, τότε η συνάρτηση$f+g$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ και ισχύει, ${{left( f+g right)}^{prime }}left( {{x}_{0}} right)={f}’left( {{x}_{0}} right)+{g}’left( {{x}_{0}} right)$

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο ${{x}_{0}}in (0,+infty )$. Για $xne {{x}_{0}}$ ισχύει

[{{left( f+g right)}^{prime }}left( {{x}_{0}} right)=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{left( f+g right)left( x right)-left( f+g right)left( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)+g(x)-fleft( {{x}_{0}} right)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=] [=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)+g(x)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}+underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{gleft( x right)-gleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}={f}’left( {{x}_{0}} right)+{g}’left( {{x}_{0}} right)]
  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)={{x}^{-v}}$, $vin {{N}^{*}}$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ${{R}^{*}}$ και ισχύει${f}’left( x right)={{left( {{x}^{-v}} right)}^{prime }}=-v{{x}^{-v-1}}$,

Απόδειξη

 

Για κάθε  $xin {{R}^{*}}$ ισχύει

${f}’left( x right)={{left( {{x}^{-v}} right)}^{prime }}={{left( frac{1}{{{x}^{v}}} right)}^{prime }}=frac{(1{)}'{{x}^{nu }}-1({{x}^{nu }}{)}’}{{{({{x}^{nu }})}^{2}}}=frac{-nu {{x}^{nu -1}}}{{{x}^{2nu }}}=-nu {{x}^{-nu -1}}$

 

  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)=varepsilon varphi x$, $vin {{N}^{*}}$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $R-{x|sigma upsilon nu x=0}$ και ισχύει${f}’left( x right)={{left( varepsilon varphi x right)}^{prime }}=frac{1}{sigma upsilon {{nu }^{2}}x}$,

Απόδειξη

 

Για κάθε  $xin R-{x|sigma upsilon nu x=0}$ ισχύει

${f}’left( x right)={{left( varepsilon varphi x right)}^{prime }}={{left( frac{eta mu x}{sigma upsilon nu x} right)}^{prime }}=frac{(eta mu x{)}’sigma upsilon nu x-eta mu x(sigma upsilon nu x{)}’}{sigma upsilon {{nu }^{2}}x}=frac{sigma upsilon nu xcdot sigma upsilon nu x+eta mu xcdot eta mu x}{sigma upsilon {{nu }^{2}}x}=$

$=frac{sigma upsilon {{nu }^{2}}x+eta {{mu }^{2}}x}{sigma upsilon {{nu }^{2}}x}=frac{1}{sigma upsilon {{nu }^{2}}x}$

 

  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)={{x}^{alpha }}$, $alpha in R-Z$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+infty )$ και ισχύει${f}’left( x right)={{left( {{x}^{alpha }} right)}^{prime }}=alpha {{x}^{alpha -1}}$,

Απόδειξη

Για $x>0$ ισχύει:

${f}’left( x right)={{left( {{x}^{a}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{ln {{x}^{a}}}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{alpha ln x}} right)}^{prime }}=(alpha ln x{)}’left( {{e}^{alpha ln x}} right)=$

$=frac{alpha }{x}left( {{e}^{ln {{x}^{alpha }}}} right)=frac{alpha }{x}{{x}^{a}}=a{{x}^{a-1}}$

 

  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)={{alpha }^{x}}$, $alpha >0$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $R$ και ισχύει${f}’left( x right)={{left( {{alpha }^{x}} right)}^{prime }}={{alpha }^{x}}ln alpha $,

Απόδειξη

 

Για κάθε x  ισχύει

${f}’left( x right)={{left( {{alpha }^{x}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{ln {{alpha }^{x}}}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{xln alpha }} right)}^{prime }}=(xln alpha {)}’left( {{e}^{xln alpha }} right)=$

$=ln alpha left( {{e}^{ln {{alpha }^{x}}}} right)=ln alpha cdot {{alpha }^{x}}={{alpha }^{x}}ln alpha $

 

  1. Έστω η συνάρτηση $fleft( x right)=ln left| x right|,,,xin {{R}^{*}}$. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ${{R}^{*}}$ και ισχύει${f}’left( x right)={{left( {{alpha }^{x}} right)}^{prime }}={{alpha }^{x}}ln alpha $,

Απόδειξη

 

Για κάθε   ισχύει

  • Αν $x>0$ ,τότε ${f}’left( x right)={{left( ln left| x right| right)}^{prime }}={{left( ln x right)}^{prime }}=frac{1}{x}$
  • Αν $x<0$ ,τότε ${f}’left( x right)={{left( ln left| x right| right)}^{prime }}={{left( ln (-x) right)}^{prime }}=frac{1}{-x}(-x{)}’=frac{1}{x}$

 

 

  1. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του $y=fleft( x right)$ ως προς το $x$ στο σημείο ${{x}_{0}}$

Απάντηση

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη  x , y  συνδέονται με τη σχέση  $y=fleft( x right)$ , όπου$f$  είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο  ${{x}_{0}}$, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο ${{x}_{0}}$  την παράγωγο ${f}’left( {{x}_{0}} right)$.

 

 

  1. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$για την οποία ισχύει:

  • Ότι είναι συνεχής στο [α,β]
  • Παραγωγίσιμη στο (α,β)
  • $fleft( alpha right)=fleft( beta  right)$

τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $xi in left( alpha ,beta  right)$ τέτοιο ώστε ${f}’left( xi  right)=0$

Γεωμετρική ερμηνεία

Rolle

Γεωμετρικά,   αυτό  σημαίνει  ότι  υπάρχει  ένα, τουλάχιστον, $xi in left( alpha ,beta  right)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη  της  ${{C}_{f}}$ στο σημείο $Mu left( xi ,fleft( xi  right) right)$να είναι παράλληλη στον άξονα των x.

 

  1. Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$για την οποία ισχύει:

  • Ότι είναι συνεχής στο [α,β]
  • Παραγωγίσιμη στο (α,β)

τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $xi in left( alpha ,beta  right)$ τέτοιο ώστε ${f}’left( xi  right)=frac{f(beta )-f(alpha )}{beta -alpha }$

Γεωμετρική ερμηνεία

TMT

Γεωμετρικά,   αυτό  σημαίνει  ότι  υπάρχει  ένα, τουλάχιστον, $xi in left( alpha ,beta  right)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη  της  ${{C}_{f}}$ στο σημείο $Mu left( xi ,fleft( xi  right) right)$να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ.

 

  1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν
  • η $f$ είναι συνεχής στο Δ και
  • ${f}’left( x right)=0$ για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Απόδειξη

Πρέπει να δείξουμε ότι για δύο οποιαδήποτε ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in Delta $ ισχύει $fleft( {{x}_{1}} right)=fleft( {{x}_{2}} right)$.

  • Αν ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$τότε προφανώς $fleft( {{x}_{1}} right)=fleft( {{x}_{2}} right)$
  • Αν ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$τότε η συνάρτηση $f$ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα $left[ {{x}_{2}},{{x}_{1}} right]$, άρα υπάρχει $xi in left( {{x}_{2}},{{x}_{1}} right)$ ώστε ${f}’left( xi  right)=frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}Rightarrow 0=frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}Rightarrow 0=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})Rightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$
  • Αν ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$τότε η συνάρτηση $f$ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα $left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} right]$, άρα υπάρχει $xi in left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} right)$ ώστε ${f}’left( xi right)=frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}Rightarrow 0=frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}Rightarrow 0=f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})Rightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$

 

  1. Έστω δύο συναρτήσεις $f,g$ ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
  • η $f,g$ είναι συνεχείς στο Δ και
  • ${f}’left( x right)={g}’left( x right)$ για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε $xin Delta $να ισχύει $fleft( x right)=gleft( x right)+c$.

Απόδειξη

TMT_2

Έστω η συνάρτηση $hleft( x right)=fleft( x right)-gleft( x right)$ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

  • $hleft( x right)$συνεχής στο Δ
  • ${h}’left( x right)={f}’left( x right)-{g}’left( x right)=0$

Δηλ. ικανοποιεί τις υποθέσεις του προηγούμενου θεωρήματος άρα υπάρχει σταθερά c ώστε  $hleft( x right)=cRightarrow fleft( x right)=gleft( x right)+c$

 

  1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.
  • Αν ${f}’left( x right)>0$ σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
  • Αν ${f}’left( x right)<0$ σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Απόδειξη

Έστω ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in Delta $ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$. Στο διάστημα $left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} right]$ η συνάρτηση $f$ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ επομένως υπάρχει $xi in left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} right)$ τέτοιο ώστε :  ${f}’left( xi  right)=frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$         (1)

  • Αν ${f}’left( x right)>0$ τότε από (1) έχουμε $frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0Rightarrow f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})>0Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ αφού ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}>0$. Άρα η $f$ είναι γνησίως αύξουσα $uparrow $.
  • Αν ${f}’left( x right)<0$ τότε από (1) έχουμε $frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0Rightarrow f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})<0Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ αφού ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}>0$. Άρα η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα $downarrow $ .

 

  1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ τοπικό μέγιστο;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f$με πεδίο ορισμού Α.  θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε $fleft( x right)le fleft( {{x}_{0}} right)$ για κάθε $xin Acap left( {{x}_{0}}-delta ,{{x}_{0}}+delta  right)$ .

Το ${{x}_{0}}$   λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το  $fleft( {{x}_{0}} right)$ τοπικό μέγιστο της f.

 

  1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ τοπικό ελάχιστο;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση $f$με πεδίο ορισμού Α.  θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ${{x}_{0}}in A$ τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε $fleft( x right)ge fleft( {{x}_{0}} right)$ για κάθε $xin Acap left( {{x}_{0}}-delta ,{{x}_{0}}+delta  right)$ .

Το ${{x}_{0}}$   λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το  $fleft( {{x}_{0}} right)$ τοπικό ελάχιστο της f.

 

  1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat και να το αποδείξετε.

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και${{x}_{0}}$  ένα  εσωτερικό  σημείο του Δ. Αν η  $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ${{x}_{0}}$και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: ${f}’left( {{x}_{0}} right)=0$.

Απόδειξη

Έστω ότι η $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ${{x}_{0}}$, τότε υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε $fleft( x right)le fleft( {{x}_{0}} right)$ για κάθε $xin Acap left( {{x}_{0}}-delta ,{{x}_{0}}+delta  right)$ .

Επίσης η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}$ άρα ${f}’left( {{x}_{0}} right)=underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}=underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}$ .

Για $xin left( {{x}_{0}},{{x}_{0}}+delta  right)$ισχύει $frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}le 0$ άρα $underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}le 0$    (1)

Για $xin left( {{x}_{0}}-delta ,{{x}_{0}} right)$ισχύει $frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}ge 0$ άρα $underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)-fleft( {{x}_{0}} right)}{x-{{x}_{0}}}ge 0$   (2)

Από (1) και (2) ισχύει ${f}’left( {{x}_{0}} right)=0$

Ανάλογη είναι η απόδειξη εάν η $f$παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

 

  1. Έστω μια συνάρτηση $f$παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του${{x}_{0}}$, στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι:
    • Αν ${f}’left( x right)>0$ στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right)$  και   ${f}’left( x right)<0$ στο $left( {{x}_{0}},beta  right)$ , τότε το  $fleft( {{x}_{0}} right)$  είναι τοπικό μέγιστο της $f$.
    • Αν ${f}’left( x right)<0$ στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right)$  και   ${f}’left( x right)>0$ στο $left( {{x}_{0}},beta  right)$ , τότε το  $fleft( {{x}_{0}} right)$  είναι τοπικό ελάχιστο της $f$.

iii)  Aν η  ${f}’left( x right)$  διατηρεί πρόσημο στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right)cup left( {{x}_{0}},beta  right)$ , τότε το  $fleft( {{x}_{0}} right)$  δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο $left( alpha ,beta  right)$

Απόδειξη

  1. ${f}’left( x right)>0$ στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$, άρα είναι γνησίως αύξουσα στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right]$, δηλ $fleft( x right)le fleft( {{x}_{0}} right)$ για $xin left( alpha ,{{x}_{0}} right]$. (1)
    ${f}’left( x right)<0$ στο $left( {{x}_{0}},beta  right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $left( {{x}_{0}},beta  right]$, δηλ $fleft( x right)le fleft( {{x}_{0}} right)$ για $xin left( {{x}_{0}},beta  right]$.     (2)

35a

 

Από (1) και (2) έχουμε $fleft( x right)le fleft( {{x}_{0}} right)$ για κάθε [xin (alpha ,beta )]

  1. ${f}’left( x right)<0$ στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right]$, δηλ $fleft( x right)ge fleft( {{x}_{0}} right)$ για $xin left( alpha ,{{x}_{0}} right]$. (3)
    ${f}’left( x right)>0$ στο $left( {{x}_{0}},beta  right)$ και η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$, άρα είναι γνησίως αύξσουσα στο $left( {{x}_{0}},beta  right]$, δηλ $fleft( x right)ge fleft( {{x}_{0}} right)$ για $xin left( {{x}_{0}},beta  right]$.     (4)

35c

Από (3) και (4) έχουμε $fleft( x right)ge fleft( {{x}_{0}} right)$ για κάθε [xin (alpha ,beta )]

  • Έστω ότι ${f}’left( x right)>0$ για $xin left( alpha ,{{x}_{0}} right)cup ({{x}_{0}},beta )$. Επειδή η $f$ συνεχής στο ${{x}_{0}}$ συνεπάγεται ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $(alpha ,{{x}_{0}}]$ και στο $[{{x}_{0}},beta )$. Επομένως για ${{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{0}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$.
    Άρα το $fleft( {{x}_{0}} right)$ δεν είναι τοπικό ακρότατο.  Θα δείξουμε ότι η $f$είναι γνησίως αύξουσα στο $left( alpha ,beta  right)$. Έστω ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in left( alpha ,beta  right)$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$
  • Αν ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in left( alpha ,{{x}_{0}} right)Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$ αφού $fuparrow $ στο$(alpha ,{{x}_{0}}]$
  • Αν ${{x}_{1}},{{x}_{2}}in left( {{x}_{0}},beta right)Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$ αφού $fuparrow $ στο $[{{x}_{0}},beta )$
  • Αν ${{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{0}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$

35b

Σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει $fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$. Ανάλογη είναι η απόδειξη εάν ${f}’left( x right)<0$ για $xin left( alpha ,{{x}_{0}} right)cup ({{x}_{0}},beta )$.

 

  1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση $f$ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ:
    1. στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ;
    2. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση

  • $f$ συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
  • παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση   $f$   στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η  f΄  είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση  $f$   στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η  f΄  είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.

  1. Πως σχετίζεται η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης $f$ με την κυρτότητά της;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση

  • $f$ συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
  • δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Αν ${f}”left( x right)>0$για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $f$  είναι κυρτή στο Δ.

Αν  ${f}”left( x right)<0$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η $f$  είναι κοίλη στο Δ.

 

  1. Πότε το σημείο $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$ ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της $f$;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση$f$ παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα $left( alpha ,beta  right)$ , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του  ${{x}_{0}}$. Αν

  • η $f$ είναι κυρτή στο $left( alpha ,{{x}_{0}} right)$ και κοίλη στο$left( {{x}_{0}},beta right)$, ή αντιστρόφως, και
  • η ${{C}_{f}}$έχει εφαπτόμενη στο σημείο $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$,

τότε το σημείο $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$  ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της $f$

 

  1. Αν το $Aleft( {{x}_{0}},fleft( {{x}_{0}} right) right)$ είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της $f$ και η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ποια είναι η τιμή της ${f}”left( {{x}_{0}} right)$;

Απάντηση

Ισχύει ότι ${f}”left( {{x}_{0}} right)=0$.

 

  1. Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$;

Απάντηση

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια $underset{xto {{x}_{0}}^{+}}{mathop{lim }},fleft( x right)$ ή $underset{xto {{x}_{0}}^{-}}{mathop{lim }},fleft( x right)$ είναι $+infty $ή $-infty $, τότε η ευθεία $x={{x}_{0}}$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$.

 

  1. Τι ονομάζουμε οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+infty $ (αντίστοιχα στο $-infty $);

Απάντηση

Αν $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=l$ (αντιστοίχως $underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=l$), τότε η ευθεία $y=l$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$στο $+infty $ (αντίστοιχα στο $-infty $).

 

  1. Πότε λέμε ότι ευθεία $y=lambda x+beta $ λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$στο $+infty $(αντιστοίχως στο $-infty $);

Απάντηση

Αν $underset{xto +infty }{mathop{lim }},[fleft( x right)-(lambda x+beta )]=0$ (αντιστοίχως αν $underset{xto -infty }{mathop{lim }},[fleft( x right)-(lambda x+beta )]=0$).

 

  1. Να διατυπώσετε τους κανόνες του de l’ Hospital;

Απάντηση

Κανόνας 1 $left( frac{0}{0} right)$:

Αν  $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=0$ και $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},gleft( x right)=0$, όπου ${{x}_{0}}in Rcup left{ -infty ,+infty  right}$και υπάρχει το $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{{f}’left( x right)}{{g}’left( x right)}$(πεπερασμένο ή άπειρο) τότε $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)}{gleft( x right)}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{{f}’left( x right)}{{g}’left( x right)}$

Κανόνας 1 $left( frac{infty }{infty } right)$:

Αν  $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=infty $ και $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},gleft( x right)=infty $, όπου ${{x}_{0}}in Rcup left{ -infty ,+infty  right}$και υπάρχει το $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{{f}’left( x right)}{{g}’left( x right)}$(πεπερασμένο ή άπειρο) τότε $underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{fleft( x right)}{gleft( x right)}=underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},frac{{f}’left( x right)}{{g}’left( x right)}$

 

 

Κεφάλαιο 3 : Ολοκληρωτικός  Λογισμός

  1. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο Δ;

Απάντηση

Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ${F}’left( x right)=fleft( x right)$,  για κάθε  $xin Delta $.

 

  1. Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν $F$είναι μια παράγουσα της $f$ στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:
  • όλες οι συναρτήσεις της μορφής $Gleft( x right)=Fleft( x right)+c$, όπου $cin R$ , είναι παράγουσες της $f$ στο Δ και
  • κάθε άλλη παράγουσα G της $f$ στο Δ παίρνει τη μορφή $Gleft( x right)=Fleft( x right)+c$, $cin R$.

 

Απάντηση

  • ${G}’left( x right)={{left( Fleft( x right)+C right)}^{prime }}={F}’left( x right)=fleft( x right)$
  • Έστω G μια άλλη παράγουσα της $f$. Τότε για $xin Delta $ισχύει:
    $left. begin{align}
  • u0026amp; {G}’left( x right)=fleft( x right) \
  • u0026amp; {F}’left( x right)=fleft( x right) \
  • end{align} right}Rightarrow Gleft( x right)={F}’left( x right)Rightarrow Gleft( x right)=Fleft( x right)+c$
  1. Να συμπληρώσετε τα κενά στις επόμενες ισότητες-ανισότητες, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις:
  • $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=…….underset{beta }{overset{alpha }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x$
  • $underset{alpha }{overset{alpha }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=…….$
  • Έστω συνεχής συνάρτηση $f:left[ alpha ,beta  right]to R$. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $xin left[ alpha ,beta  right]$ τότε  [underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x…….]
  • Έστω συνεχής συνάρτηση $f:left[ alpha ,beta  right]to R$. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $xin left[ alpha ,beta  right]$ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε  $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x,…….$

 

Απάντηση

  • $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=-underset{beta }{overset{alpha }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x$
  • $underset{alpha }{overset{alpha }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=0$
  • Έστω συνεχής συνάρτηση $f:left[ alpha ,beta  right]to R$. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $xin left[ alpha ,beta  right]$ τότε  $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}xge 0$
  • Έστω συνεχής συνάρτηση $f:left[ alpha ,beta  right]to R$. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε $xin left[ alpha ,beta  right]$ και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε  $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x>0$

 

  1. Τι παριστάνει γεωμετρικά το : $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x$, όταν $fleft( x right)ge 0$;

 

Απάντηση

11

Αν $fleft( x right)ge 0$ για κάθε$xin left[ a,beta  right]$, τότε το ολοκλήρωμα $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x$ δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β .

Ισχύει $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=Epsilon (Omega )$

 

  1. Τι παριστάνει γεωμετρικά το $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},text{cd}x$, αν $c>0$;

Απάντηση

Εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση β − α και ύψος c .

 

  1. Θεώρημα. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση $Fleft( x right)=underset{0}{overset{x}{mathop int }},fleft( x right)text{d}x$, $xin Delta $ είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει ${{left( underset{0}{overset{x}{mathop int }},fleft( x right)text{d}x right)}^{prime }}=fleft( x right)$

 

  1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Απάντηση

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε ισχύει $underset{0}{overset{x}{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=G(alpha )-G(beta )$.

Απόδειξη

Από προηγούμενο Θεώρημα έχουμε ότι η $Fleft( x right)=underset{0}{overset{x}{mathop int }},fleft( x right)text{d}x$ είναι μία παράγουσα της $f$στο [α,β].

Όμως και η G είναι μία παράγουσα της $f$στο [α,β]. Άρα $G(x)=Fleft( x right)+c$  (1)  για κάποιο $cin R$ .

Για x=α  η (1)γίνεται: [G(alpha )=Fleft( alpha  right)+cRightarrow G(alpha )=underset{alpha }{overset{alpha }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x+cRightarrow G(alpha )=c], οπότε η (1) γράφεται $G(x)=Fleft( x right)+G(alpha )Rightarrow Fleft( x right)=G(x)-G(alpha )$.

Αν θέσουμε x=β η τελευταία εξίσωση γράφεται $Fleft( beta  right)=G(beta )-G(alpha )Rightarrow underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right)text{d}x=Gleft( beta  right)-Gleft( alpha  right)$

  1. Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση

Έστω ${f}’$, ${g}’$ δύο συνεχής συναρτήσεις στο [α,β], τότε ισχύει $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( x right){g}’left( x right)text{d}x=left[ fleft( x right)gleft( x right) right]_{alpha }^{beta }-underset{alpha }{overset{b}{mathop int }},{f}'(x)gleft( x right)text{d}x$

 

  1. Ποιος είναι ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση

Έστω $f$, ${g}’$ δύο συνεχής συναρτήσεις στο [α,β], τότε ισχύει $underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},fleft( g(x) right){g}’left( x right)text{d}x=underset{g(alpha )}{overset{g(beta )}{mathop int }},f(u)du$

  1. Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συνεχών συναρτήσεων f , g και τις ευθείες x = α και x = β;

Απάντηση

[Epsilon (Omega )=underset{alpha }{overset{beta }{mathop int }},|fleft( x right)-gleft( x right)text{ }!!|!!text{  d}x]

.