Τυπολόγιο Α & Β Λυκείου

[latexpage]

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α’ u0026amp; Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ

(για να το κατεβάσετε σε μορφή word πατήστε εδώ)

Τα Σύνολα Αριθμών

Number_sets

Ν: Φυσικοί αριθμοί: $left{ 0,1,2,3,… right}$

Ζ: Ακέραιοι αριθμοί: $left{ …,,-3,-2,-1,0,1,2,3,… right}$

Q: Ρητοί αριθμοί: Όσοι μπορούν να γραφούν σαν κλάσμα ακέραιων αριθμών. Π.χ. $-2,,,frac{2}{3},,,5,overline{9}$

Q’ Άρρητοι αριθμοί: Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλ.  έχουν άπειρα μη περιοδικά  δεκαδικά ψηφία όπως είναι ο π και ο e.

R: Πραγματικοί αριθμοί: ΟΛΟΙ

Τα σύνολα χωρίς το 0 αναπαρίστανται με αστεράκι: Ν*, Ζ*, …

 

Ιδιότητες Πρόσθεσης και Πολλαπλασιασμού

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α+β=β+α αβ=βα
Προσεταιριστική (α+β)+γ=α+(β+γ) (αβ)γ=α(βγ)
Ουδέτερο στοιχείο α+0=α α∙1=α
Αντίθετος/ Αντίστροφος α+(-α)=0 α∙ (1/α)=1, α≠0
Επιμεριστική α(β+γ)=αβ+αγ

* Η Αντιμεταθετική ιδιότητα (αλλαγή θέσης στους όρους της πράξης) ισχύει για τις πράξει  πρόσθεση και πολλαπλασιασμό µόνο.

  • $alpha =beta text{ }kappa alpha iota text{ }gamma =delta text{ }=>text{ }alpha +gamma =beta +delta $
  • $alpha =beta text{ }kappa alpha iota text{ }gamma =delta text{ }=>text{ }alpha cdot gamma =beta cdot delta $
  • $alpha =beta Leftrightarrow alpha +gamma =beta +gamma $
  • $alpha =beta Leftrightarrow alpha gamma =beta gamma ,,,,gamma iota alpha text{ }gamma ne 0$
  • $alpha cdot beta =0Leftrightarrow $ $alpha =0$ ή $beta =0$

 

Ιδιότητες Αναλογιών

  • $frac{alpha }{beta }=frac{gamma }{delta }Leftrightarrow frac{alpha }{gamma }=frac{beta }{delta }Leftrightarrow frac{delta }{gamma }=frac{beta }{alpha }Leftrightarrow alpha cdot delta =beta cdot gamma $
  • $frac{alpha }{beta }=frac{gamma }{delta }Leftrightarrow frac{alpha +beta }{beta }=frac{gamma +delta }{delta }$
  • $frac{alpha }{beta }=frac{gamma }{delta }Leftrightarrow frac{alpha }{beta pm alpha }=frac{gamma }{delta pm gamma }$
  • $frac{alpha }{beta }=frac{gamma }{delta }Leftrightarrow frac{alpha }{beta }=frac{gamma }{delta }=frac{alpha +gamma }{beta +delta }Leftrightarrow frac{alpha }{beta }=frac{kappa alpha pm lambda gamma }{kappa beta pm lambda delta }$

 

Δυνάμεις

  • ${{alpha }^{nu }}=underbrace{alpha cdot alpha cdot alpha …alpha }_{nu varphi orho varsigma },$ για $nu ge 1$
  • ${{alpha }^{-nu }}=frac{1}{{{alpha }^{nu }}}$
  • ${{alpha }^{0}}=1$
  • ${{alpha }^{kappa }}{{alpha }^{lambda }}={{alpha }^{kappa +lambda }}$
  • ${{alpha }^{kappa }}{{beta }^{kappa }}={{(alpha beta )}^{kappa }}$
  • $frac{{{alpha }^{kappa }}}{{{alpha }^{lambda }}}={{alpha }^{kappa -lambda }}$
  • $frac{{{alpha }^{kappa }}}{{{beta }^{kappa }}}={{left( frac{alpha }{beta } right)}^{kappa }}$
  • ${{left( {{alpha }^{kappa }} right)}^{lambda }}={{alpha }^{kappa lambda }}$
  • ${{a}^{frac{mu }{nu }}}=sqrt[nu ]{{{alpha }^{mu }}}$

 

Ταυτότητες

  • ${{left( alpha pm beta right)}^{2}}={{alpha }^{2}}pm 2alpha beta +{{beta }^{2}}$
  • ${{alpha }^{2}}-{{beta }^{2}}=left( alpha +beta right)left( alpha -beta  right)$
  • ${{left( alpha pm beta right)}^{3}}={{alpha }^{3}}pm 3{{alpha }^{2}}beta +3alpha {{beta }^{2}}pm {{beta }^{3}}$
  • ${{alpha }^{3}}pm {{beta }^{3}}=left( alpha pm beta right)left( {{alpha }^{2}}mp alpha beta +{{beta }^{2}} right)$
  • ${{left( alpha +beta +gamma right)}^{2}}={{alpha }^{2}}+{{beta }^{2}}+{{gamma }^{2}}+2alpha beta +2alpha gamma +2beta gamma $

 

Ανισότητες

  • $x>y$και $y>zRightarrow x>z$                 Μεταβατική Ιδιότητα
  • $x>yLeftrightarrow x+alpha >y+alpha $
  • $x>yLeftrightarrow left{ begin{matrix} lambda x>lambda y,,lambda >0  \   lambda x<lambda y,,lambda <0  \ end{matrix} right.$
  • $alpha >beta $ και $x>yRightarrow alpha +x>beta +y$                 Πρόσθεση κατά μέλη
  • $alpha >beta >0$ και $x>y>0Rightarrow alpha x>beta y$                 Πολλαπλασιασμός κατά μέλη
  • $alpha >beta Rightarrow {{alpha }^{2nu +1}}>{{beta }^{2nu +1}}$
  • Αν $alpha >beta >0Rightarrow {{alpha }^{2nu }}>{{beta }^{2nu }}$                 Ισχύει για θετικούς μόνο
  • Αν $alpha beta >0$ και $alpha >beta Rightarrow ,frac{1}{alpha }<frac{1}{beta }$                 Ισχύει για ομόσημους αριθμούς
  • Αν $alpha >beta >0,Rightarrow ,sqrt[nu ]{alpha }>sqrt[nu ]{beta }$

Απόλυτες Τιμές

  • $left| x right|=left{ begin{matrix} x,,xge 0  \   -x,,x<0  \ end{matrix} right.$
  • $left| x right|ge 0$
  • $left| x right|ge x$
  • $left| x right|=left| -x right|$
  • ${{left| x right|}^{2nu }}={{x}^{2nu }}$
  • $left| xy right|=left| x right|left| y right|$
  • $left| {{x}^{nu }} right|={{left| x right|}^{nu }}$
  • $left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|}$
  • $left| x right|=left| y right|Leftrightarrow x=pm y$
  • Αν $theta >0$και $left| x right|=theta Leftrightarrow x=pm theta $
  • Αν $theta >0$και $left| x right|<theta Leftrightarrow -theta <x<+theta $
  • Αν $theta >0$και $left| x right|>theta Leftrightarrow x<-theta x>theta $
  • $left| left| x right|-left| y right| right|le left| xpm y right|le left| x right|+left| y right|$

 

Ρίζες

  • $sqrt[2nu +1]{{{alpha }^{2nu +1}}}=alpha $
  • $sqrt[2nu ]{{{alpha }^{2nu }}}=left| alpha right|$
  • $sqrt[nu ]{alpha }sqrt[nu ]{beta }=sqrt[nu ]{alpha beta }$
  • $frac{sqrt[nu ]{alpha }}{sqrt[nu ]{beta }}=sqrt[nu ]{frac{alpha }{beta }}$
  • $sqrt[nu ]{sqrt[mu ]{alpha }}=sqrt[nu mu ]{alpha }$
  • Αν $alpha >beta >0,Rightarrow ,sqrt[nu ]{alpha }>sqrt[nu ]{beta }$

 

 

Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού (αx2+βx+γ=0, α≠0)

Έστω Δ=β2-4αγ. Αν

  • Δ>0, τότε έχει δύο ρίζες ${{x}_{1,2}}=frac{-beta pm sqrt{Delta }}{2alpha }$
  • Δ=0, τότε έχει μία διπλή ρίζα ${{x}_{1,2}}=frac{-beta }{2alpha }$
  • Δ<0, τότε δεν έχει καμία ρίζα στο R

Παραγοντοποίηση εξίσωσης 2ου βαθμού (αx2+βx+γ, α≠0)

Έστω Δ=β2-4αγ. Αν

  • Δ>0, τότε $alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma =alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})$
  • Δ=0, τότε $alpha {{x}^{2}}+beta x+gamma =alpha {{(x-{{x}_{1}})}^{2}}$
  • Δ<0, τότε δεν παραγοντοποιείται

Πρόσημο τριωνύμου (αx2+βx+γ, α≠0)

Το τριώνυμο σε όλες τις περιπτώσεις  είναι ομόσημο του α εκτός από μία: όταν Δ>0 και το x παίρνει τιμές μεταξύ των δύο ριζών.

 

Πρόοδοι

Αριθμητική πρόοδος Γεωμετρική πρόοδος
ν-οστός όρος ${{alpha }_{nu }}={{alpha }_{1}}+left( nu -1 right)omega $ ${{alpha }_{nu }}={{alpha }_{1}}{{lambda }^{nu -1}}$
α,β,γ διαδοχικοί όροι $beta =frac{alpha +gamma }{2}$ ${{beta }^{2}}=alpha gamma $
Άθροισμα ν πρώτων όρων ${{S}_{nu }}=frac{nu }{2}left( {{alpha }_{1}}+{{alpha }_{nu }} right)$ ${{S}_{nu }}={{alpha }_{1}}frac{{{lambda }^{nu }}-1}{lambda -1}$

 

Λογάριθμοι

  • ${{log }_{a}}x=yLeftrightarrow {{a}^{y}}=x$
  • ${{log }_{a}}{{x}^{k}}=k{{log }_{a}}x$
  • ${{a}^{{{log }_{a}}x}}=x$
  • ${{log }_{a}}a=1$
  • ${{log }_{a}}1=0$
  • ${{log }_{a}}(xy)={{log }_{a}}x+{{log }_{a}}y$
  • ${{log }_{a}}(frac{x}{y})={{log }_{a}}x-{{log }_{a}}y$
  • αν α>1. τότε ${{log }_{a}}x<{{log }_{a}}y,Leftrightarrow ,x<y$αν 0<α<1. τότε ${{log }_{a}}x<{{log }_{a}}y,Leftrightarrow ,x>y$

 

 


Για να δείτε μια συνοπτική παρουσίαση των Κωνικών Τομών κάντε κλικ εδώ.