Πραγματικές συναρτήσεις (Πεδίο ορισμού)

[latexpage]

Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης

Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)  $f$, με την οποία κάθε στοιχείο x ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της  $f$  στο x και συμβολίζεται με $f(x)$.
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: $f:Ato R$
Το πεδίο ορισμού Α συμβολίζεται και με ${{D}_{f}}$ενώ το σύνολο τιμών $fleft( A right)$.

Όταν δίνεται η συνάρτηση $f:Ato Beta $, τότε το σύνολο τιμών δεν ταυτίζεται με το Β αλλά αποτελεί υποσύνολο του.

f
g
h

 

f g h

Από τις τρείς παραπάνω συναρτήσεις:

  • Η f δεν είναι συνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο του πεδίου ορισμού που δεν αντιστοιχεί πουθενά.
  • Η g επίσης δεν είναι συνάρτηση διότι υπά5ρχει στοιχείο του πεδίου ορισμού που αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του συνόλου τιμών.
  • Στην h συμβαίνει το αντίστροφο της g. Δύο στοιχεία του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο του συνόλου τιμών. Αυτό επιτρέπεται άρα η h είναι συνάρτηση.

Πολύ συχνά η αντιστοιχία των στοιχείων μιας συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί  με τύπο. Έτσι αν έχουμε f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9 κοκ , ο τύπος της συνάρτησης είναι f(x)=x2.

Συντομογραφία συνάρτησης

Σε μια συνάρτηση στην οποία δεν δίνεται το πεδίο ορισμού θα πρέπει εμείς να το προσδιορίζουμε. Σε αυτή την περίπτωση το πεδίο ορισμού είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται,   Ειδικότερα:

Συνάρτηση Πεδίο ορισμού
Πολυωνυμική ή τριγωνομετρική $R$
Ρητή Το R εκτός από τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.
Άρρητη Όλες οι τιμές για τις οποίες η υπόριζος ποσότητα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
Εκθετική $R$
Λογαριθμική Όλες οι τιμές για τις οποίες η ποσότητα στον λογάριθμο να είναι θετική.
Ημίτονο ή συνημίτονο $R$
Εφαπτομένη $R-{frac{pi }{2}+kappa pi ,,,kappa in Zeta }$
Συνεφαπτομένη $R-{kappa pi ,,,,kappa in Zeta }$

 

Ασκήσεις βιβλίου

Α1, Α4, Α5, Β2, Β4 (σελίδα 27).

Ασκήσεις εκτός βιβλίου

Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

  1. $f(x)=frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}$  (Λύση $A=R-{-1,-2}$)
  2. $f(x)=sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}$                 (Λύση $A=R$)
  3. $f(x)=ln ({{x}^{2}}-6x+9)$                 (Λύση $A=R-{3}$)
  4. $f(x)=frac{5x}{x-1}+frac{sqrt{x+2}}{x+1}$                 (Λύση $A=[-2,-1)cup (-1,1)cup (1,+infty )$)
  5. $f(x)=ln (x+5)+sqrt{3-x}$                 (Λύση $A=(-5,3]$)
  6. $f(x)=left{ begin{matrix}
    2sigma upsilon nu (5x),,,gamma iota alpha ,,xin [-5,2],,  \

    2{{x}^{2}}+1,,,,,,,,,gamma iota alpha ,,xin (2,10],,  \

    -x-4,,,,,,,,,,gamma iota alpha ,,xin (20,25],,  \

    end{matrix} right.$      (Λύση $A=[-5,10]cup (20,25]$)

  7. $f(x)=sqrt{{{4}^{x}}-9cdot {{2}^{x}}+8}$                 (Λύση $A=(-infty ,0]cup [3,+infty )$)
  8. $f(x)=frac{{{e}^{x}}-2}{{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-2}$  (Λύση $A=R-{ln 2}$)
  9. $f(x)=ln left( frac{(x-1)}{(x+3)(x-3)} right)$                 (Λύση $A=(-3,1)cup (3,+infty )$)
  10. $f(x)=2{{x}^{2}}+3varepsilon varphi (3x)$ (Λύση $A=R-{frac{pi }{6}+kappa pi /kappa in Zeta }$)

 

Βρείτε το $kappa in R$ , ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το R:

  1. $f(x)=frac{sqrt{{{x}^{2}}+5}}{{{({{kappa }^{2}}+1)}^{2}}{{x}^{2}}-4kappa x+1}$                    (Λύση $kappa in R-{-1,1}$)
  2. $f(x)=frac{sqrt{3{{x}^{2}}+2}}{{{x}^{2}}+kappa x+2kappa }$                                          (Λύση $kappa in (0,8)$)