Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου


eksofilo_math__c_gym

ΜΑΘΗΜΑ 1

Τα Σύνολα Αριθμών

Number_sets

Ν: Φυσικοί αριθμοί: $left{ 0,1,2,3,… right}$

Ζ: Ακέραιοι αριθμοί: $left{ …,,-3,-2,-1,0,1,2,3,… right}$

Q: Ρητοί αριθμοί: Όσοι μπορούν να γραφούν σαν κλάσμα ακέραιων αριθμών. Π.χ. $-2,,,frac{2}{3},,,5,overline{9}$

Q’ Άρρητοι αριθμοί: Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλ.  έχουν άπειρα μη περιοδικά  δεκαδικά ψηφία όπως είναι ο π και ο e.

R: Πραγματικοί αριθμοί: ΟΛΟΙ

Τα σύνολα χωρίς το 0 αναπαρίστανται με αστεράκι: Ν*, Ζ*, …

Ιδιότητες Πρόσθεσης και Πολλαπλασιασμού

ΙδιότηταΠρόσθεσηΠολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετικήα+β=β+ααβ=βα
Προσεταιριστική(α+β)+γ=α+(β+γ)(αβ)γ=α(βγ)
Ουδέτερο στοιχείοα+0=αα∙1=α
Αντίθετος/ Αντίστροφοςα+(-α)=0α∙ (1/α)=1, α≠0
Επιμεριστικήα(β+γ)=αβ+αγ

* Η Αντιμεταθετική ιδιότητα (αλλαγή θέσης στους όρους της πράξης) ισχύει για τις πράξει πρόσθεση και πολλαπλασιασμό µόνο.

• $alpha cdot beta =0Leftrightarrow $ $alpha =0$ ή $beta =0$

• $alpha cdot beta ne 0Leftrightarrow $ $alpha ne 0$ και $beta ne 0$

Η αφαίρεση μπορεί να γραφεί σαν πρόσθεση. Παράδειγμα: $3-7=3+(-7)$
Η διαίρεση μπορεί να γραφεί σαν πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα:$3:7=3/7=3cdot frac{1}{7}$

Απόλυτες Τιμές
• $left| x right|=left{ begin{matrix}
x,,xge 0 \
-x,,x<0 \
end{matrix} right.$

• $left| x right|ge 0$

Δυνάμεις

• ${{alpha }^{nu }}=underbrace{alpha cdot alpha cdot alpha …alpha }_{nu varphi orho varsigma },$ για $nu ge 1$
• ${{alpha }^{-nu }}=frac{1}{{{alpha }^{nu }}}$
• ${{alpha }^{0}}=1$
• ${{alpha }^{kappa }}{{alpha }^{lambda }}={{alpha }^{kappa +lambda }}$
• ${{alpha }^{kappa }}{{beta }^{kappa }}={{(alpha beta )}^{kappa }}$
• $frac{{{alpha }^{kappa }}}{{{alpha }^{lambda }}}={{alpha }^{kappa -lambda }}$
• $frac{{{alpha }^{kappa }}}{{{beta }^{kappa }}}={{left( frac{alpha }{beta } right)}^{kappa }}$
• ${{left( {{alpha }^{kappa }} right)}^{lambda }}={{alpha }^{kappa lambda }}$
• ${{a}^{frac{mu }{nu }}}=sqrt[nu ]{{{alpha }^{mu }}}$ (είναι στην ύλη του λυκείου)

Σε ένα σύνθετο κλάσμα ισχύει $frac{frac{a}{beta }}{frac{gamma }{delta }}=frac{acdot delta }{beta cdot gamma }$

Προτεραιότητα των πράξεων
• οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις
• οι δυνάμεις
• πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
• προσθέσεις και αφαιρέσεις
Σε περίπτωση που έχουμε δύο πράξεις με την ίδια προτεραιότητα τότε εκτελούμε πρώτα αυτή που είναι από αριστερά.

Ρίζες

• $sqrt[{}]{alpha }=left| alpha right|$
• $sqrt[{}]{alpha }sqrt[{}]{beta }=sqrt[{}]{alpha beta }$
• $frac{sqrt[{}]{alpha }}{sqrt[{}]{beta }}=sqrt[{}]{frac{alpha }{beta }}$